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902. 最大为 N 的数字组合

题目描述

给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。

返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。

示例 1：

输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.

示例 2：

输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。

示例 3:

输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1

提示：

1 <= digits.length <= 9
digits[i].length == 1
digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数
digits 中的所有值都不同
digits 按 非递减顺序 排列
1 <= n <= 10⁹

解法

方法一：数位 DP

这道题实际上是求在给定区间 $[l,..r]$ 中，由 digits 中的数字生成的正整数的个数。个数与数的位数以及每一位上的数字有关。我们可以用数位 DP 的思路来解决这道题。数位 DP 中，数的大小对复杂度的影响很小。

对于区间 $[l,..r]$ 问题，我们一般会将其转化为 $[1,..r]$ 然后再减去 $[1,..l - 1]$ 的问题，即：

$$ ans = \sum_{i=1}^{r} ans_i - \sum_{i=1}^{l-1} ans_i $$

不过对于本题而言，我们只需要求出区间 $[1,..r]$ 的值即可。

这里我们用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索，到最底层得到方案数，一层层向上返回答案并累加，最后从搜索起点得到最终的答案。

基本步骤如下：

我们将数字 $n$ 转化为字符串 $s$，记字符串 $s$ 的长度为 $m$。

接下来，我们设计一个函数 $\textit{dfs}(i, \textit{lead}, \textit{limit})$，表示当前处理到字符串的第 $i$ 位，到最后一位的方案数。其中：

数字 $i$ 表示当前处理到字符串 $s$ 的第 $i$ 位；
布尔值 $\textit{lead}$ 表示是否只包含前导零；
布尔值 $\textit{limit}$ 表示当前位置是否受到上界的限制。

函数的执行过程如下：

如果 $i$ 大于等于 $m$，说明我们已经处理完了所有的位数，此时如果 $\textit{lead}$ 为真，说明当前的数字是前导零，我们应当返回 $0$；否则，我们应当返回 $1$。

否则，我们计算当前位置的上界 $\textit{up}$，如果 $\textit{limit}$ 为真，则 $up$ 为 $s[i]$ 对应的数字，否则 $up$ 为 $9$。

然后，我们在 $[0, \textit{up}]$ 的范围内枚举当前位置的数字 $j$，如果 $j$ 为 $0$ 且 $\textit{lead}$ 为真，我们递归计算 $\textit{dfs}(i + 1, \text{true}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})$；否则，如果 $j$ 在 $\textit{digits}$ 中，我们递归计算 $\textit{dfs}(i + 1, \text{false}, \textit{limit} \wedge j = \textit{up})$。累加所有的结果即为答案。

最后，我们返回 $\textit{dfs}(0, \text{true}, \text{true})$ 即可。

时间复杂度 $O(\log n \times D)$，空间复杂度 $O(\log n)$。其中 $D = 10$。

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Python3

class Solution:
    def atMostNGivenDigitSet(self, digits: List[str], n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(i: int, lead: int, limit: bool) -> int:
            if i >= len(s):
                return lead ^ 1

            up = int(s[i]) if limit else 9
            ans = 0
            for j in range(up + 1):
                if j == 0 and lead:
                    ans += dfs(i + 1, 1, limit and j == up)
                elif j in nums:
                    ans += dfs(i + 1, 0, limit and j == up)
            return ans

        s = str(n)
        nums = {int(x) for x in digits}
        return dfs(0, 1, True)

Java

class Solution {
    private Set<Integer> nums = new HashSet<>();
    private char[] s;
    private Integer[] f;

    public int atMostNGivenDigitSet(String[] digits, int n) {
        s = String.valueOf(n).toCharArray();
        f = new Integer[s.length];
        for (var x : digits) {
            nums.add(Integer.parseInt(x));
        }
        return dfs(0, true, true);
    }

    private int dfs(int i, boolean lead, boolean limit) {
        if (i >= s.length) {
            return lead ? 0 : 1;
        }
        if (!lead && !limit && f[i] != null) {
            return f[i];
        }
        int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j <= up; ++j) {
            if (j == 0 && lead) {
                ans += dfs(i + 1, true, limit && j == up);
            } else if (nums.contains(j)) {
                ans += dfs(i + 1, false, limit && j == up);
            }
        }
        if (!lead && !limit) {
            f[i] = ans;
        }
        return ans;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int atMostNGivenDigitSet(vector<string>& digits, int n) {
        string s = to_string(n);
        unordered_set<int> nums;
        for (auto& x : digits) {
            nums.insert(stoi(x));
        }
        int m = s.size();
        int f[m];
        memset(f, -1, sizeof(f));
        auto dfs = [&](auto&& dfs, int i, bool lead, bool limit) -> int {
            if (i >= m) {
                return lead ? 0 : 1;
            }
            if (!lead && !limit && f[i] != -1) {
                return f[i];
            }
            int up = limit ? s[i] - '0' : 9;
            int ans = 0;
            for (int j = 0; j <= up; ++j) {
                if (j == 0 && lead) {
                    ans += dfs(dfs, i + 1, true, limit && j == up);
                } else if (nums.count(j)) {
                    ans += dfs(dfs, i + 1, false, limit && j == up);
                }
            }
            if (!lead && !limit) {
                f[i] = ans;
            }
            return ans;
        };
        return dfs(dfs, 0, true, true);
    }
};

Go

func atMostNGivenDigitSet(digits []string, n int) int {
	s := strconv.Itoa(n)
	m := len(s)
	f := make([]int, m)
	for i := range f {
		f[i] = -1
	}
	nums := map[int]bool{}
	for _, d := range digits {
		x, _ := strconv.Atoi(d)
		nums[x] = true
	}
	var dfs func(i int, lead, limit bool) int
	dfs = func(i int, lead, limit bool) int {
		if i >= m {
			if lead {
				return 0
			}
			return 1
		}
		if !lead && !limit && f[i] != -1 {
			return f[i]
		}
		up := 9
		if limit {
			up = int(s[i] - '0')
		}
		ans := 0
		for j := 0; j <= up; j++ {
			if j == 0 && lead {
				ans += dfs(i+1, true, limit && j == up)
			} else if nums[j] {
				ans += dfs(i+1, false, limit && j == up)
			}
		}
		if !lead && !limit {
			f[i] = ans
		}
		return ans
	}
	return dfs(0, true, true)
}

TypeScript

function atMostNGivenDigitSet(digits: string[], n: number): number {
    const s = n.toString();
    const m = s.length;
    const f: number[] = Array(m).fill(-1);
    const nums = new Set<number>(digits.map(d => parseInt(d)));
    const dfs = (i: number, lead: boolean, limit: boolean): number => {
        if (i >= m) {
            return lead ? 0 : 1;
        }
        if (!lead && !limit && f[i] !== -1) {
            return f[i];
        }
        const up = limit ? +s[i] : 9;
        let ans = 0;
        for (let j = 0; j <= up; ++j) {
            if (!j && lead) {
                ans += dfs(i + 1, true, limit && j === up);
            } else if (nums.has(j)) {
                ans += dfs(i + 1, false, limit && j === up);
            }
        }
        if (!lead && !limit) {
            f[i] = ans;
        }
        return ans;
    };
    return dfs(0, true, true);
}

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